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CHANNEL of MATH
함수의 연속성과 사이값정리
2019.05.24 조회수 : 4,678

자연과학(수학이나 과학)을 공부하다보면

방정식의 해를 구하는 것보다, 해의 존재성을 밝히는 것이 더 중요할 때가 많다.

 

화성에 생명체가 존재하는가 ??

대한민국 영해에 석유가 나오는가 ??

 

존재성을 밝히지 않고, 생명체를 찾아 헤매는 것, 석유를 캐려 하는 것은

태평양 모래알 속에서 막연히 이것을 찾는 것이다.

 

수학에 이토록 중요한 "존재성"을 보이는 이론이 있는데

연속함수의 "사잇값 정리(Intermediate Value Theorem)" 라는 이론이다.

 

사이값 정리는 다음과 같다.

-----------------------------------------------------------

함수 f(x) 가 닫힌구간 [a, b] 에서 연속일때

f(a)≠f(b) 이면, f(a)와 f(b)사이의 임의의 값 k에 대하여

f(c)=k 인 c가 하나 이상 존재한다. (단, a

-----------------------------------------------------------

 

  나쵸를 먹기 위해 미국에서 멕시코로 넘어가고자 하는

두 마리의 동물, 지렁이메뚜기가 있다.

 

 

미국에서 멕시코로 넘어가는 국경에는 전깃줄이 놓여 있어

밟고 지나가면 반드시 감전이 된다고 하자.

이때, 반드시 감전이 되는 동물은 누구일까 ???

 

메뚜기는 점프가 가능하니까, 감전이 되지 않고 안전하게 멕시코로 갈수 있다.

하지만, 우리의 지렁이는 한국에서 밟히는 것도 모자라..

미국에서 멕시코로 넘어갈때, 반드시 감전이 된다.  그것도 한번 이상....

 

이런 경우, 메뚜기를 불연속 함수, 지렁이를 연속함수라고 생각하면 된다.

이와같이, 연속함수인 지렁이가 A지점에서 B지점까지 이동할 때

두 지점 사이의 선을 반드시 밟고 지나가게 되어있는데....

이 정리가 사이값 정리이다.

 

 

생활에서의 사이값 정리는 다음과 같다.

 

여의도의 어느 지점에서 오늘 아침 9시의 기온이 5도였다.

그리고, 오후 3시에 기온을 재보니 25도 였다.

그렇다면... 아침 9시에서 오후 3시 사이에 온도가 20도인 시각이 있었는가 ??

 

(답) 적어도 한번 이상 온도가 20도인 시각이 있었다.

 

이 경우 시간과 온도의 그래프를 그리면...

일반적으로 여의도에 포탄이 떨어지거나 씽크홀이 생기지 않는한

여의도의 온도는 연속적으로 변하므로...

 

 

그림과 같이 지렁이가 (9,5) 지점에서 (15, 25) 지점까지

연속함수로 이동하다보면 반드시 y=20 이라는 선을

밟고 지날 수 밖에 없는데 지렁이가 선을 밟는 시간이

온도가 20도가 되는 시각이 되는 것이다. ^^

 

___________

 

세상의 많은 것들은 연속적으로 또는 연속에 가깝게 변한다.

 

사람의 생김새는 다르지만...

지구인은 60억이라는 엄청난 수의 모집단을 보유하고 있기에

왠만한 사람과 닮은 사람은 모두 존재한다는 가정하에...?

A사람부터 B사람까지 닮은 사람 순서대로 연속적인

줄을 세울 수 있을 것이다... (지극히 주관적^^)

 

만약, 이 가정이 참이라면... 나와 디카프리오 사이에

어떤 인물의 모습도 존재한다라는 결론이 나온다.


ㅎㅎㅎ

드쟈너께서 ... 나와 디카프리오의 연속적인 변화를 잘 만들어 주셨다

사이값 정리...  존재의 위대함을 알려주는 대단한 이론이다.

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