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조건부 확률 (정저지와)
2019.05.30 조회수 : 3,673

 하늘(sky)은 어떤 모양일까 ? 

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결론은 "어디에서 보는가에 따라 다르다" 이다.

 

넓은 벌판에서 하늘을 보면 한장의 큰 도화지로 보일것이며

손으로 하트 모양을 만들어서 바라보면 하트 모양으로 보일것이고

아래의 개구리에겐 하늘이 동그란 원으로 보일것같다 ^^   

⊙⊙

만약 비가 올 확률을 

 

비올 확률 = (하늘에 보이는 구름의 크기/하늘의 크기) 

 

라고 정의한다면 (어디까지나 가정임) 

하늘에 보이는 구름이 하늘 전체 크기의 30%정도라고 할때

[비가 올 확률 = 3/10]  일 것이다.

 

 

하지만 우물안 개구리에겐 다르다.

 

분명히 해가 떠있고, 스쳐지나가는 구름떼 임에도 불구하고 

이 우물안 개구리에게는 비올 확률은 훨씬 더 크게 느껴질 것이다.  

 

즉, 이 우물안에서 하늘을 바라보면, 하늘이 동그랗게 원으로 보이고 

이 하늘에 보이는 구름의 양은 유난히 많아서 이 개구리는  

비가 올 확률을 거의 90%, 즉 9/10 으로 생각할 것이다.  

 

이렇게 특정한 상황(우물)에 빠져서 계산한 확률을 

조건부 확률이라고 부르고,  이 특정한 상황(우물)을 조건이라 부른다.

--------

일반적으로 확률은 다음 3단계로 이루어져 있다.  

시행 ☞ 사건A ☞ 확률P(A) 

 

이때, 사건 A가 일어날 확률 P(A)는   

P(A)=(사건 A의 경우의 수/전체 경우의 수) 

로 정의한다.  

 

이에 비해 조건부 확률은 다음 4단계로 이루어져 있다.  

시행 ☞ 사건A  ☞ 사건B ☞ 확률P(B|A) 

 

이때, 먼저 일어난 사건 A를 사건 B의 조건이라 하며  

P(B|A) 를 사건 A가 일어났을 때, 사건 B의 확률 또는 

 사건 A가 일어났다는 조건하에, 사건 B가 일어날 확률

 이라고 하고

 

P(B|A) = (A∩B 의 경우의 수/사건 A의 경우의 수)  

로 정의한다.  

 

● For Example ●

교실안에 7명의 학생이 있다. 

학생 구성은 얼굴이 빨간 학생파란학생 

여학생(긴머리)과 남학생(짧은머리)이 있다.  

한명의 학생을 뽑을때, 다음 확률을 구하여라.  

단, 각각의 사건을 다음과 같이 정한다.  

R : 빨간 학생이 뽑히는 사건 

B : 파란 학생이 뽑히는 사건 

M : 남학생이 뽑히는 사건 

F : 여학생이 뽑히는 사건 

 

(1) P(R)               (2) P(B)        

      (3) P(R|M)           (4) P(B|F)            

  

 

정답은 다음과 같다.  

(1)  전체 학생 중 빨간 학생의 비율이므로 3/7

(2) 전체 학생 중 파란 학생의 비율이므로 4/7

(3) 남학생 중 빨간 학생의 비율이므로 2/3

(4) 여학생 중 파란 학생의 비율이므로 3/4

 

(1), (3)은 둘다 빨간 학생의 비율은 묻는 것이지만

(3)의 경우, 남학생만 대상으로 생각하는 것이므로

(1). (3)의 답이 다르게 나오는 것이다.

 

마찬가지로 (2), (4)는 둘다 파란 학생의 비율을 묻는 것이지만

(4)의 경우, 여학생만 대상으로 생각하는 것이므로

(2), (4)의 답이 다르게 나오는 것이다.

 

참고로, (1), (3) 또는 (2), (4)와 같이

어떤 사건의 확률이 조건에 따라 달라지는 경우

이 사건과 조건에 해당하는 사건은 서로 독립이 아니다(또는 종속이다)

라고 하며, 조건부 확률과 조건이 없을 때의 확률이 같을 때를 서로 독립이라 한다.

(사건의 독립과 종속은 다음 기회에 하기로 한다 ^^) 

 

앞으로 확률 문제를 다룰 때는  

하나의 사건을 물어보는 확률인가 

아니면, 특정한 조건(사건)에 대하여 또 다른 사건의 확률을 묻는  

조건부 확률인가를 반드시 구분해야 할 것이다.  

 

 

조건부 확률을 다루다보니, 생각나는 한자 성어가 있다.

정저지와 (井底之蛙) : 우물안 개구리

 

" 우물안 개구리는 세상에 대한 편견을 가질 뿐만 아니라

확률 계산도 틀릴 수 있구나.. !!! " 



어쩌면, 우리에게 지금 필요한 건 우물일 지도 모른다.

보고 싶은 것만 보이는 우물같은 안경

먹고 싶은 음식만 보이는 우물같은 냉장고

풀고 싶은 문제만 보이는 우물같은 시험

가끔은 우물안 개구리가 사람보다 행복해 보이기도 한다.

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